Nombres complexes et triangle équilatéral - Exemple

Soit  \(\text A,\text B,\text C\)  trois points deux à deux distincts et d'affixes respectives  \(z_\text A,z_\text B,z_\text C\) . Pour prouver que le triangle  \(\text A\text B\text C\)  est un triangle équilatéral, il suffit de prouver que  \(\dfrac{z_\text C-z_\text A}{z_\text B-z_\text A}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)  ou  \(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .

Exemple 

Soit  \(\text A, \text B\)  et  \(\text C\)  d'affixes respectives  \(2-i, 6-i, 4+(2\sqrt{3}-1)i\) . On veut démontrer que le triangle  \(\text A\text B\text C\)  est un triangle équilatéral.

\(\dfrac{z_\text C-z_\text A}{z_\text B-z_\text A}=\dfrac{4+(2\sqrt{3}-1)i-(2-i)}{6-i-(2-i)}=\dfrac{2+(2\sqrt{3})i}{4}=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Donc   le triangle  \(\text A\text B\text C\)  est bien un triangle équilatéral.